Toán học đóng một vai trò quyết định để hiểu được hành vi và hoạt động của điện và hệ thống điện tử . Đa thức, Đại số, Xác suất, Tích phân và Phân biệt, v.v. tạo thành một phần quan trọng của các công cụ được sử dụng để giải hệ thống. Với sự phức tạp ngày càng tăng của các hệ thống, đòi hỏi các phương pháp rất phức tạp. Phương trình vi phân thường được sử dụng để xác định hệ thống điều khiển. Các phương trình này rất đơn giản để giải. Nhưng sự phức tạp nảy sinh trong khi giải các phương trình vi phân bậc cao. Để giải các phương trình vi phân bậc cao phức tạp như vậy, phương pháp toán học được chứng minh là hiệu quả là Biến đổi laplace . Vì quá trình chuyển đổi này được sử dụng rộng rãi, sẽ rất hữu ích nếu biết chúng thực sự có ý nghĩa gì và chúng hoạt động như thế nào.

Biến đổi Laplace là gì?

Trong toán học, phép biến đổi được áp dụng để chuyển một biến từ dạng này sang dạng khác để làm cho phương trình dễ xử lý. Các phép biến đổi Laplace làm được điều tương tự. Họ biến đổi phương trình vi phân bậc cao thành một dạng đa thức dễ dàng hơn nhiều so với việc giải phương trình vi phân trực tiếp.

Nhưng có nhiều biến đổi khác nhau như biến đổi Fourier, biến đổi z điều gì làm cho biến đổi Laplace trở nên đặc biệt? Ưu điểm chính của phép biến đổi Laplace là chúng được xác định cho cả hệ thống ổn định và không ổn định trong khi phép biến đổi Fourier chỉ được xác định cho các hệ thống ổn định.

Công thức biến đổi Laplace

Một biến đổi Laplace của hàm f (t) trong miền thời gian, trong đó t là số thực lớn hơn hoặc bằng 0, được cho dưới dạng F (s), trong đó s là số phức trong miền tần số .i.e. s = σ + jω
Phương trình trên được coi là đơn phương Phương trình biến đổi Laplace . Khi các giới hạn được mở rộng cho toàn bộ trục thực thì Biến đổi Laplace song phương có thể được định nghĩa là
Trong các mạch thực tế như Mạch RC và RL thông thường, các điều kiện ban đầu được sử dụng như vậy, các phép biến đổi Laplace một phía được áp dụng cho mục đích phân tích.
Khi s = σ + jω, khi σ = 0, biến đổi Laplace hoạt động như biến đổi Fourier.

“công thức chuyển đổi tương tự sang kỹ thuật số ”

Công thức biến đổi Laplace

Điều kiện để áp dụng biến đổi Laplace

Các phép biến đổi Laplace được gọi là phép biến đổi tích phân nên cần có các điều kiện cần thiết để các phép biến đổi này hội tụ.
tức là f phải tích phân cục bộ trong khoảng [0, ∞) và tùy thuộc vào việc σ là dương hay âm, e ^ (- σt) có thể đang giảm dần hoặc lớn lên. Đối với các phép biến đổi Laplace song phương chứ không phải một giá trị duy nhất, tích phân hội tụ trên một phạm vi giá trị nhất định được gọi là Vùng hội tụ.

Các thuộc tính của Biến đổi Laplace:

Tuyến tính

Dịch chuyển thời gian

Shift trong S-domain

Đảo ngược thời gian

Sự khác biệt trong S-domain

Chuyển đổi trong thời gian

Định lý giá trị ban đầu

Định lý giá trị ban đầu được áp dụng khi trong phép biến đổi Laplace, bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số Định lý Giá trị Cuối cùng:

“tôi có thể mua linh kiện điện ở đâu ”

Nếu tất cả các cực của sF (s) nằm ở nửa bên trái của mặt phẳng S thì áp dụng định lý giá trị cuối cùng.

Biến đổi Laplace ngược

Do đặc tính hội tụ nên phép biến đổi Laplace cũng có một phép biến đổi nghịch đảo. Phép biến đổi Laplace thể hiện ánh xạ một-một từ không gian hàm này sang không gian hàm khác. Công thức cho phép biến đổi Laplace ngược là

Làm thế nào để tính toán biến đổi Laplace?

Phép biến đổi Laplace giúp xử lý các phương trình đơn giản hơn. Khi một phương trình vi phân bậc cao được đưa ra, phép biến đổi Laplace được áp dụng cho nó để chuyển phương trình thành phương trình đại số, do đó dễ xử lý hơn. Sau đó, chúng tôi tính toán các nghiệm thức bằng cách đơn giản hóa phương trình đại số này. Bây giờ biến đổi Laplace ngược của biểu thức đơn giản hơn được tìm thấy giải phương trình vi phân bậc cao đã cho.

Tính toán biến đổi Laplace

Các ứng dụng của Biến đổi Laplace

Phân tích điện và mạch điện .
Chia nhỏ các phương trình vi phân phức tạp thành các dạng đa thức đơn giản hơn.
Biến đổi Laplace cung cấp thông tin về trạng thái ổn định cũng như tạm thời.
Trong học máy, phép biến đổi Laplace được sử dụng để đưa ra dự đoán và thực hiện phân tích trong khai thác dữ liệu.
Phép biến đổi Laplace đơn giản hóa các tính toán trong mô hình hệ thống.

Ứng dụng của biến đổi Laplace trong xử lý tín hiệu

Biến đổi Laplace thường được lựa chọn để xử lý tín hiệu. Cùng với phép biến đổi Fourier, Biến đổi laplace được sử dụng để nghiên cứu tín hiệu trong miền tần số. Khi có các tần số nhỏ trong tín hiệu trong miền tần số thì người ta có thể mong đợi tín hiệu thông suốt trong miền thời gian. Việc lọc tín hiệu thường được thực hiện trong miền tần số mà Laplace hoạt động như một công cụ quan trọng để chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số.

Ứng dụng Biến đổi Laplace trong Hệ thống Điều khiển

Hệ thống điều khiển thường được thiết kế để kiểm soát hành vi của các thiết bị khác. Ví dụ của hệ thống điều khiển có thể bao gồm từ một bộ điều khiển sưởi ấm nhà đơn giản đến một hệ thống điều khiển công nghiệp điều chỉnh hành vi của máy móc.

Nói chung, các kỹ sư điều khiển sử dụng các phương trình vi phân để mô tả hoạt động của các khối chức năng vòng kín khác nhau. Phép biến đổi Laplace được sử dụng ở đây để giải các phương trình này mà không làm mất thông tin biến quan trọng.

Đặc trưng của các hệ thống bất biến thời gian tuyến tính sử dụng phép biến đổi Laplace

Đối với hệ thống thông thường ROC được liên kết với hệ thống, hàm là nửa mặt phẳng bên phải. Một hệ thống chống sự cố nếu đáp ứng xung của nó h (t) = 0 với t> 0.

Nếu ROC của hệ thống có chức năng H (s) bao gồm trục jω thì L.T.I. hệ thống được gọi là hệ thống ổn định. Nếu một hệ thống bình thường có chức năng hệ thống hợp lý H (các) có phần thực âm cho tất cả các cực của nó thì hệ thống ổn định.

Vì vậy, phép biến đổi Laplace là một công cụ quan trọng trong phân tích mạch. Chúng ta có thể nói như một chiếc ống nghe đối với bác sĩ thì Laplace biến đổi là kỹ sư điều khiển. Bạn coi phép biến đổi Laplace là gì? Họ đã hữu ích cho bạn theo cách nào?