Fermi Dirac Distribution là gì? Biểu đồ dải năng lượng và phương pháp xấp xỉ Boltzmann

Điện tử và lỗ đóng một vai trò thiết yếu trong việc chuyển giao điện năng trong chất bán dẫn . Các hạt này được sắp xếp ở một mức năng lượng khác nhau trong chất bán dẫn. Sự chuyển động của các electron từ mức năng lượng này sang mức năng lượng khác tạo ra điện . Một electron bên trong kim loại phải có mức năng lượng ít nhất phải lớn hơn năng lượng rào cản bề mặt để thoát ra mức năng lượng cao hơn.

Đã có nhiều luận án được đề xuất và chấp nhận giải thích các đặc điểm và hành vi của electron. Nhưng một số hành vi của electron như sự độc lập của dòng phát xạ đối với nhiệt độ, v.v ... vẫn còn là một bí ẩn. Sau đó, một thống kê đột phá, Fermi Dirac Thống kê , xuất bản bởi Enrico Fermi và Paul Dirac vào năm 1926 đã giúp giải quyết những câu đố này.

Từ đó Phân phối Fermi Dirac đang được áp dụng để giải thích sự sụp đổ của một ngôi sao thành sao lùn trắng, để giải thích sự phát xạ điện tử tự do từ kim loại, v.v….

Phân phối Fermi Dirac

Trước khi tham gia vào Chức năng phân phối Fermi Dirac hãy để chúng tôi nhìn năng lượng sự phân bố electron trong các loại chất bán dẫn. Năng lượng tối đa của êlectron tự do có thể có trong vật liệu ở nhiệt độ tuyệt đối. I.e. ở 0k được gọi là mức năng lượng Fermi. Giá trị của năng lượng Fermi khác nhau đối với các vật liệu khác nhau. Dựa trên năng lượng mà các electron sở hữu trong chất bán dẫn, các electron được sắp xếp thành ba vùng năng lượng - Vùng dẫn, mức năng lượng Fermi, vùng Valency.

Trong khi vùng dẫn chứa các điện tử kích thích, vùng hóa trị chứa các lỗ trống. Nhưng mức Fermi có ý nghĩa gì? Mức Fermi là trạng thái năng lượng có xác suất ½ bị chiếm bởi một electron. Nói một cách dễ hiểu, đó là mức năng lượng tối đa mà một electron có thể có ở 0k và xác suất tìm thấy electron trên mức này ở nhiệt độ tuyệt đối là 0. Ở nhiệt độ 0 tuyệt đối, một nửa mức Fermi sẽ chứa đầy electron.

Trong giản đồ vùng năng lượng của chất bán dẫn, mức Fermi nằm ở giữa vùng dẫn và vùng hóa trị đối với chất bán dẫn nội tại. Đối với chất bán dẫn bên ngoài, mức Fermi nằm gần dải giá trị trong Chất bán dẫn loại P va cho Bán dẫn loại N , nó nằm gần vùng dẫn.

Mức năng lượng Fermi được ký hiệu là LÀ_F, vùng dẫn được biểu thị là LÀ_C và vùng hóa trị được ký hiệu là E_V.

Mức Fermi ở các loại N và P

Mức Fermi trong chất bán dẫn loại N và P

Hàm phân phối Fermi Dirac

Xác suất để trạng thái năng lượng có sẵn ‘E’ sẽ bị chiếm bởi một điện tử ở nhiệt độ tuyệt đối T trong điều kiện cân bằng nhiệt được cho bởi hàm Fermi-Dirac. Từ vật lý lượng tử, Biểu thức phân bố Fermi-Dirac là

Trong đó k là hằng số Boltzmann trong ^{HOẶC LÀ}ĐẾN , T là nhiệt độ ở ⁰ĐẾN và LÀ_F là mức năng lượng Fermi tính bằng eV.k = 1,38X10^{-2. 3}J / K

Mức Fermi đại diện cho trạng thái năng lượng với xác suất được lấp đầy là 50% nếu không có dải cấm tồn tại, tức là nếu E = E_F sau đó f (E) = 1/2 đối với bất kỳ giá trị nào của nhiệt độ.

Phân phối Fermi-Dirac chỉ cung cấp xác suất sử dụng của trạng thái ở một mức năng lượng nhất định nhưng không cung cấp bất kỳ thông tin nào về số trạng thái có sẵn ở mức năng lượng đó.

Biểu đồ phân bố Fermi Dirac và dải năng lượng

f (E) Vs (E-E_F) âm mưu

Biểu đồ trên cho thấy hành vi của mức Fermi ở các phạm vi nhiệt độ khác nhau T = 0⁰K, T = 300⁰K, T = 2500⁰ĐẾN. Tại T = 0K , đường cong có đặc điểm giống như bậc thang.

Tại T = 0⁰ĐẾN , tổng số mức năng lượng mà các electron chiếm giữ có thể được biết bằng cách sử dụng Hàm Fermi-Dirac.

Đối với một mức năng lượng nhất định E> E_F , số hạng mũ trong hàm Fermi-Dirac trở thành 0 và Điều đó có nghĩa là xác suất tìm thấy mức năng lượng chiếm dụng của năng lượng lớn hơn LÀ_F bằng không.

Đối với một mức năng lượng nhất định LÀF giá trị của nó có nghĩa là tất cả các mức năng lượng có năng lượng nhỏ hơn mức Fermi E_Fsẽ bị chiếm đóng tại T = 0⁰ĐẾN . Điều này chỉ ra rằng mức năng lượng Fermi là năng lượng tối đa mà một electron có thể có ở nhiệt độ không tuyệt đối.

Đối với nhiệt độ lớn hơn nhiệt độ tuyệt đối và E = E_F , sau đó không phụ thuộc vào giá trị của nhiệt độ.

Đối với nhiệt độ lớn hơn nhiệt độ tuyệt đối và LÀF , thì cấp số nhân sẽ là số âm. f (E) bắt đầu từ 0.5 và có xu hướng tăng dần về 1 khi E giảm.

Đối với nhiệt độ lớn hơn nhiệt độ tuyệt đối và E> E_F , cấp số nhân sẽ dương và tăng theo E. f (E) bắt đầu từ 0,5 và có xu hướng giảm dần về 0 khi E tăng.

Phân phối Fermi Dirac Xấp xỉ Boltzmann

Phân phối Maxwell- Boltzmann thường được sử dụng Xấp xỉ phân phối Fermi Dirac .

Phân phối Fermi-Dirac được cung cấp bởi

Bởi sử dụng Maxwell - Tính gần đúng Boltzmann phương trình trên được rút gọn thành

Khi sự khác biệt giữa năng lượng của hạt tải điện và mức Fermi lớn so với, số hạng 1 trong mẫu số có thể bị bỏ qua. Để áp dụng phân bố Fermi-Dirac, điện tử phải tuân theo nguyên tắc độc quyền của Pauli, nguyên tắc này rất quan trọng ở độ pha tạp cao. Nhưng phân phối Maxwell-Boltzmann bỏ qua nguyên tắc này, do đó phép xấp xỉ Maxwell-Boltzmann bị giới hạn trong các trường hợp pha tạp thấp.

Thống kê Fermi Dirac và Bose-Einstein

Thống kê Fermi-Dirac là nhánh của thống kê lượng tử, mô tả sự phân bố của các hạt ở các trạng thái năng lượng có chứa các hạt giống hệt nhau tuân theo Nguyên lý Loại trừ Pauli. Vì thống kê F-D được áp dụng cho các hạt có spin bán nguyên, chúng được gọi là các fermion.

Một hệ thống bao gồm nhiệt động lực học ở trạng thái cân bằng và các hạt giống hệt nhau, ở trạng thái đơn hạt I, số fermion trung bình được cho bởi phân bố F-D là

trạng thái đơn hạt ở đâu Tôi , tổng thế hóa học được biểu thị bằng, đến_B là hằng số Boltzmann trong khi T là nhiệt độ tuyệt đối.

Thống kê Bose-Einstein ngược lại với Thống kê F-D. Điều này được áp dụng cho các hạt có spin nguyên nguyên hoặc không spin, được gọi là Boson. Các hạt này không tuân theo Nguyên tắc loại trừ Pauli, có nghĩa là cùng một cấu hình lượng tử có thể chứa nhiều hơn một boson.

Thống kê F-D và thống kê Bore-Einstein được áp dụng khi hiệu ứng lượng tử là quan trọng và không thể phân biệt được các hạt.

Vấn đề phân phối Fermi Dirac

Trong chất rắn, coi mức năng lượng nằm dưới mức Fermi 0,11eV. Tìm xác suất để mức này không bị electron chiếm chỗ?

Vấn đề phân phối Fermi Dirac

Đây là tất cả về Phân phối Fermi Dirac . Từ những thông tin trên, cuối cùng chúng ta có thể kết luận rằng các thuộc tính Macro của một hệ thống có thể được tính bằng cách sử dụng một hàm Fermi-Dirac. Nó được sử dụng để biết năng lượng Fermi ở cả hai trường hợp nhiệt độ không và hữu hạn. Hãy trả lời một câu hỏi mà không cần tính toán dựa trên hiểu biết của chúng tôi về phân phối Fermi-Dirac. Đối với mức năng lượng E, 0,25e.V dưới mức Fermi và nhiệt độ trên nhiệt độ tuyệt đối, đường cong phân bố Fermi giảm về phía 0 hay tăng về phía 1?